|
Дисциплина изучается в 7 и 8 семестрах.
Объем курса:
7 семестр - 34 часа лекций и 18 часов практических занятий; экзамен.
8 семестр - 32 часа лекций и 32 часа практических занятий, курсовая работа; экзамен.
Лектор - профессор Овчаренко В.Н. Цель дисциплины: - дать систематизированное изложение методов учета неопределенных факторов в задачах динамики полета самолетов, летных испытаниях самолетов, анализе и синтезе систем автоматического управления самолетами;
- систематическое изложение теоретических основ и практического применения теории случайных процессов к решению задач динамики полета, обработке результатов летных испытаний, анализу и синтезу систем автоматического управления самолетами.
Содержание дисциплины:
1. Введение. Предмет статистической динамики:
Соответствие математических моделей динамики полета реальному полету. Факторы неопределенности. Признаки случайности. Контролируемые и неконтролируемые условия летного эксперимента. Полет самолета как случайное явление. Случайные явления в летных испытаниях.
2. Случайные события. Модели теории вероятностей:
Опыт. Исход опыта. Результат опыта. Событие. Случайное событие. Идеальная монета. Идеальная игральная кость. Урновая модель. Статистическая устойчивость исхода опыта.
3. Классическое определение вероятностей. Свойства случайных собы-тий:
Равновозможность событий. Несовместность событий. Элементарное случайное событие. Составное случайное событие. Вероятность случайного события. Вероятность как частота появления события в опыте. Равносильность случайных событий. Сумма, произведение и разность случайных событий. Противоположное случайное событие. Достоверное и невозможное случайные события. Диаграммы Венна. Полная группа случайных событий. Поле событий.
4. Свойства классической вероятности. Геометрические вероятности:
Вероятность как неслучайная функция случайного события. Знакоопределенность вероятности.
Вероятность суммы двух несовместных событий. Вероятность достоверного и невозможного событий. Ограниченность значений вероятности. Бесконечное множество равновероятных случайных событий. Геометрический образ области проведения опыта. Геометрическая мера области проведения опыта. Геометрическая вероятность как отношение геометрических мер образов областей поста-новки эксперимента. Инвариантность геометрической вероятности к сдвигам и вращениям области постановки эксперимента.
5. Понятие об аксиоматической теории вероятности:
Элементарное событие. Множество элементарных событий. Система аксиом Колмогорова. Свойства аксиоматической вероятности. Вероятностное пространство.
6. Теорема умножения вероятностей:
Зависимые и независимые случайные события. Условная вероятность события. Взаимность свойств зависимости и независимости событий. Вероятность произведения нескольких случайных событий. Примеры.
7. Формула полной вероятности. Теорема гипотез (формула Бейеса):
Гипотеза как случайное событие. Полная группа несовместных событий. Вероятность гипотезы. Условная вероятность гипотезы. Примеры.
8. Повторение опытов. Случайная величина. Ряд распределения:
Независимые опыты. Формула Бернулли. Биномиальный закон распределения вероятностей. Определение случайной величины. Дискретная случайная величина. Непрерывная случайная величина. Вероятностное описание случайной величины. Закон распределения.
9. Функция распределения. Вероятность попадания случайной величины на заданный интервал:
Функция распределения вероятностей. Более строгое определение случайной величины. Интегральная функция распределения. Свойства функции распределения. Вероятность отдельно взятого значения случайной величины.
10. Плотность вероятности. Закон Пуассона:
Определение плотности вероятности. Свойства плотности вероятности. Взаимная связь функции распределения и плотности вероятности. Закон равномерной плотности. Нормальный закон распределения. Вывод закона Пуассона.
11. Понятие о системе случайных величин. Функция распределения системы двух случайных величин. Плотность распределения системы двух случайных величин:
Случайный вектор. Свойства функции распределения двух случайных величин. Вероятность попадания в произвольный прямоугольник. Поверхность распределения. Кривые равной плотности. Вероятность попадания двух случайных величин в область произвольной формы.
12. Законы распределения отдельных случайных величин, входящих в систему. Условные законы распределения. Зависимые и независимые случайные величины:
Вывод формул вычисления законов распределения и плотностей вероятности отдельных случайных величин, входящих в систему. Теорема умножения законов распределения. Вероятностная зависимость двух случайных величин.
13. Закон распределения монотонной функции одного случайного аргумента. Закон распределения немонотонной функции одного случайного аргумента. Закон распределения функции двух случайных величин:
Монотонная функция одного аргумента. Функциональная связь двух случайных величин. Вывод формулы плотности вероятности случайной величины, полученной как результат преобразования другой случайной величины посредством монотонной функции. Вывод формулы вычисления закона распределения немонотонной функции одного случайного аргумента.
14. Закон распределения суммы двух случайных величин. Композиция законов распределения:
Сумма двух случайных величин как функция двух случайных аргументов. Закон распределения суммы двух независимых случайных величины. Вывод формулы закона распределения двух независимых случайных величины. Пример.
15. Числовые характеристики случайных величин. Математическое ожидание. Дисперсия:
Понятие математического ожидание как среднего выигрыша в игре в кости. Математическое ожидание дискретных и непрерывных случайных величин. Свойства математического ожидания. Дисперсия дискретных и непрерывных случайных величин. Свойства дисперсии.
16. Числовые характеристики системы случайных величин. Корреляци-онный момент:
Корреляционная матрица. Дисперсии случайных величин, входящих в систему, как диагональные элементы корреляционной матрицы. Свойства корреляционных моментов. Свойства корреляционной матрицы. Коэффициент корреляции. Коэффициент корреляции независимых случайных величин. Коэффициент корреляции линейно зависимых случайных величин. Нормированная корреляционная матрица. Математическое ожидание произведения зависимых случайных величин. Дисперсия суммы двух зависимых случайных величин.
17. Нормальный закон распределения. Вероятность попадания нормаль-ной случайной величины в заданный интервал:
Часто наблюдаемое распределение вероятностей в практической деятельности. Параметры нормального закона распределения вероятностей, их вероятностный смысл. Интеграл вероятности (функция Лапласа). Свойства функции Лапласа. Вероятность попадания случайной величины на интервал симметричный относительно математического ожидания.
18. Нормальный закон распределения системы двух случайных величин:
Вероятностный смысл параметров, входящих в нормальный закон распределения системы двух случайных величин. Зависимость и независимость двух нормально распределенных случайных величин. Независимость и некоррелированность. Условное математическое ожидание и условная дисперсия. Эллипс равной плотности (эллипс рассеивания).
19. Вероятность попадания в прямоугольник со сторонами параллель-ными главным осям рассеивания. Нормальный закон в пространстве:
Вывод формулы вычисления вероятности попадания в прямоугольник со сторонами параллельными главным осям рассеивания. Обобщение нормального закона распределения системы двух случайных величин на закон распределения произвольного числа случайных величин.
20. Композиция нормальных законов распределения. Линейные функции от нормально распределенных аргументов:
Вывод формул, определяющих композицию нормально распределенных случайных величин. Устойчивость нормального закона распределения в линейных преобразованиях. Сравнение с законом распределения суммы двух независимых случайных величин, распределенных по равномерному закону.
21. Закон больших чисел:
Понятие закона больших чисел. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли. Сходимость по вероятности.
22. Понятие случайного процесса. Плотность вероятности случайного процесса:
Определение случайного процесса. Случайная последовательность. Реализация случайного процесса. Множество реализаций случайного процесса. Обозначения случайных процессов и их реализаций. Случайный процесс как функция двух переменных: случайного события и времени. Сечение случайного процесса. Плотность вероятности двух и более сечений случайного процесса.
23. Классификация случайных процессов. Моментные характеристики случайных процессов:
Условная плотность вероятности случайного процесса (переходная плотность вероятности). Абсолютный случайный процесс. Марковский случайный процесс. Процесс с независимыми приращениями. Гуссовский случайный процесс. Винеровский случайный процесс. Стационарный случайный процесс. Математическое ожидание случайного процесса. Дисперсия случайного процесса. Корреляционная и нормированная корреляционная функции случайного процесса. Свойства корреляционной функции случайного процесса. Случайный процесс "белый шум". Гармонический случайный процесс. Телеграфный сигнал.
24. Понятие стационарного случайного процесса. Спектральное пред-ставление стационарного случайного процесса:
Стационарный случайный процесс в широком смысле. Корреляционная функция стационарного случайного процесса. Эргодический случайный процесс. Спектральное разложение. Линейчатый спектр.
25. Спектральная плотность. Спектральная плотность белого шума. Атмосферная турбулентность:
Определение спектральной плотности. Формулы Хинчина - Винера. Свойства спектральной плотности. Формулы спектральной плотности вертикальных порывов ветра.
26. Преобразование стационарного случайного процесса стационарной линейной системой:
Стационарная линейная динамическая система. Дробно - рациональная передаточная функция. Частотная характеристика динамической системы. Спектральная функция выходного сигнала динамической системы. Алгоритм вычисления числовых характеристик реакции стационарной линейной динамической системы на входной случайный процесс. Численные методы вычисления дисперсии реакции стационарной линейной динамической системы на входной случайный процесс.
27. Элементы стохастического анализа. Сходимость в среднем квадратическом. Непрерывность случайного процесса в среднем квадратическом. Дифференцирование и интегрирование случайных процессов:
Лемма Лоэва. Следствия леммы Лоэва. Непрерывность случайного процесса в точке. Непрерывность случайного процесса на интервале. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости и интегрируемости случайного процесса в среднем квадратическом.
28. Стохастический интеграл Ито. Стохастическая производная. Формула дифференцирование Ито:
Введение в стохастическое исчисление Ито. Свойства интеграла Ито. Интеграл Ито с переменным верхним пределом. Определение стохастической производной. Формула дифференцирования Ито сложной функции для скалярного и векторного случайного процесса.
29. Стохастические дифференциальные уравнения. Математическое ожидание и дисперсионная матрица решений системы нелинейных стохастических дифференциальных уравнений:
Определение стохастического дифференциального уравнения. Определение решения стохастического дифференциального уравнения. Вывод выражений для вычисления математического ожидания и элементов дисперсионной матрицы решения стохастического дифференциального уравнения.
30. Линейные стохастические дифференциальные уравнения. Математическое ожидание и дисперсионная матрица решений системы линейных стохастических дифференциальных уравнений:
Определение линейного стохастического дифференциального уравнения. Определение решения линейного стохастического дифференциального уравнения. Вывод выражений для вычисления математического ожидания и элементов дисперсионной матрицы решения линейного стохастического дифференциального уравнения.
31. Формирующий фильтр. Приближенное вычисление моментов реше-ния нелинейного стохастического уравнения:
Понятие формирующего фильтра. Система линейных стохастических уравнений формирующего фильтра. Разложение в ряд Тейлора. Нормальная аппроксимация. Сравнение на примере разложения в ряд Тейлора и нормальной аппроксимации.
32. Задача наблюдения. Задача оценивания. Интегральное уравнение Винера - Хопфа:
Постановка задачи наблюдения. Условие наблюдаемости. Наблюдатель Луенбергера. Постановка задачи оценивания. Сравнение постановок задач наблюдения и оценивания. Вывод интегрального уравнения Винера - Хопфа как решение вариационной задачи.
33. Оптимальный фильтр Калмана - Бьюси. Обобщение фильтра Калмана - Бьюси на нелинейные стохастические уравнения. Задача идентификации динамических систем:
Вывод уравнений оптимального фильтра Калмана - Бьюси как решение интегрального уравнения Винера - Хопфа для линейных стохастических систем. Задача идентификации динамических систем как задача фильтрации нелинейных стохастических систем.
Курсовая работа Курсовая работа заключается в решении следующих задач:
a) анализ влияния атмосферной турбулентности на движение самолета без системы улучшения устойчивости и управляемости;
b) анализ влияния атмосферной турбулентности на движение самолета с системой улучшения устойчивости и управляемости.
Курсовая работа состоит из четырех этапов:
1) разработка математической модели возмущенного движения самолета в турбулентной атмосфере (25%);
2) расчет необходимых аэродинамических характеристик самолета (25%);
3) вычисление зависимости дисперсии (нормальной перегрузки или высоты полета) от варьируемых параметров режима полета и системы улучшения устойчивости и управляемости (25%);
4) оформление пояснительной записки (25%).
|
